בגרות קיץ 2025 מועד ב' · שאלה 1 – תכנון ליניארי: סלט גזר וסלט כרוב3 יחידות 372 · שיעור 14
בגרות קיץ 2025 מועד ב' · שאלה 1
בגרות קיץ 2025 מועד ב' · שאלה 1 – תכנון ליניארי: סלט גזר וסלט כרוב
פרק 2 – תכנון לינארי
1נוסח השאלה
2סעיף א – מערכת האילוצים
3סעיף ב – סרטוט התחום האפשרי
4סעיף ג – פונקציית המטרה
5סעיף ד – הרווח המקסימלי
📄 נוסח השאלה
במפעל שמייצר סלטים מכינים שני סוגי סלטים: סלט גזר וסלט כרוב. תהליך הייצור מורכב משני שלבים עיקריים: קיצוץ וערבוב, ולצורך כך משתמשים במפעל במכונת קיצוץ ובמכונת ערבוב.
בטבלה שלפניכם מוצג הזמן הנדרש להכנת 1 קילוגרם של כל אחד מן הסלטים.
במחזור ייצור אחד אפשר להפעיל את מכונת הקיצוץ 42 דקות לכל היותר ואת מכונת הערבוב 35 דקות לכל היותר.
📄 נוסח השאלה · המשך
נסמן ב־x את מספר הקילוגרמים של סלט הגזר וב־y את מספר הקילוגרמים של סלט הכרוב שמכינים במפעל במחזור ייצור אחד.
א. כתבו את מערכת האילוצים של הבעיה.
ב. סרטטו את התחום האפשרי המתקבל ממערכת האילוצים.
הרווח של המפעל ממכירה של קילוגרם אחד של סלט הגזר הוא 26 שקלים, והרווח ממכירה של קילוגרם אחד של סלט הכרוב הוא 30 שקלים.
📄 נוסח השאלה · המשך
ג. כתבו את פונקציית המטרה.
ד. כמה קילוגרמים מכל סוג של סלט צריך לייצר במפעל במחזור ייצור אחד כדי שהרווח יהיה מקסימלי?
סעיף א – מערכת האילוצים
אילוץ 1 – הכמויות אינן שליליות:
📐 כלל: אי־שליליות
x ≥ 0 , y ≥ 0
אילוץ 2 – מכונת הקיצוץ: קילוגרם סלט גזר צריך 6 דקות קיצוץ, ולכן x קילוגרמים צריכים 6x דקות; קילוגרם סלט כרוב צריך 3 דקות, ולכן y קילוגרמים צריכים 3y דקות. המכונה פועלת 42 דקות לכל היותר:
📐 כלל: אילוץ
6x + 3y ≤ 42
אילוץ 3 – מכונת הערבוב: 2 דקות לקילוגרם סלט גזר ו־4 דקות לקילוגרם סלט כרוב, ולכל היותר 35 דקות:
📐 כלל: אילוץ
📐 כלל: אי־שליליות
מספר סוכריות לא יכול להיות שלילי
📐 כלל: אילוץ
כמות של משהו ≤ המקסימום המותר
📐 כלל: אילוץ
כמות של משהו ≤ המקסימום המותר
סעיף א – מערכת האילוצים · המשך
אילוץ 3 – מכונת הערבוב: 2 דקות לקילוגרם סלט גזר ו־4 דקות לקילוגרם סלט כרוב, ולכל היותר 35 דקות:
📐 כלל: אילוץ
2x + 4y ≤ 35
✅ פתרון סופי: x ≥ 0 , y ≥ 0 , 6x + 3y ≤ 42 , 2x + 4y ≤ 35
📐 כלל: אילוץ
כמות של משהו ≤ המקסימום המותר
סעיף ב – סרטוט התחום האפשרי
כדי לסרטט כל ישר נמצא את נקודות החיתוך שלו עם הצירים.
📐 כלל: נקודה על ציר ה־x
הישר:
6x + 3y = 42
נציב x = 0:
6 · 0 + 3y = 42 ⟹ 3y = 42 ⟹ y = 14
נציב y = 0:
📐 כלל: נקודה על ציר ה־x
y = 0
סעיף ב – סרטוט התחום האפשרי · המשך
נציב y = 0:
6x + 3 · 0 = 42 ⟹ 6x = 42 ⟹ x = 7
הישר:
2x + 4y = 35
נציב x = 0:
2 · 0 + 4y = 35 ⟹ 4y = 35 ⟹ y = 8.75
סעיף ב – סרטוט התחום האפשרי · המשך
2 · 0 + 4y = 35 ⟹ 4y = 35 ⟹ y = 8.75
נציב y = 0:
2x + 4 · 0 = 35 ⟹ 2x = 35 ⟹ x = 17.5
התחום האפשרי נמצא מתחת לשני הישרים (סימן ≤) וברביע הראשון (x ≥ 0 , y ≥ 0).
נמצא גם את נקודת המפגש של שני הישרים (נצטרך אותה בסעיף ד):
📐 כלל: מפגש שני ישרים
נחלק את המשוואה הראשונה ב־3:
📐 כלל: מפגש שני ישרים
פותרים את מערכת שתי המשוואות
סעיף ב – סרטוט התחום האפשרי · המשך
נחלק את המשוואה הראשונה ב־3:
2x + y = 14 ⟹ y = 14 − 2x
2x + 4y = 35
נציב y = 14 − 2x:
2x + 4(14 − 2x) = 35
2x + 56 − 8x = 35
סעיף ב – סרטוט התחום האפשרי · המשך
2x + 56 − 8x = 35
−6x = −21
x = 3.5
y = 14 − 2x
נציב x = 3.5:
y = 14 − 2 · 3.5 = 7
סעיף ב – סרטוט התחום האפשרי · המשך
y = 14 − 2 · 3.5 = 7
✅ פתרון סופי: התחום האפשרי הוא המרובע שקודקודיו (0 , 0) , (0 , 8.75)
(3.5 , 7) , (7 , 0)
(3.5 , 7) , (7 , 0)
סעיף ג – פונקציית המטרה
רווח של 26 שקלים לקילוגרם סלט גזר ו־30 שקלים לקילוגרם סלט כרוב:
📐 כלל: פונקציית מטרה
f(x , y) = 26x + 30y
✅ פתרון סופי: f(x , y) = 26x + 30y
📐 כלל: פונקציית מטרה
f(x , y) = a · x + b · y
a – הרווח מיחידה מהסוג הראשון, b – מהסוג השני
a – הרווח מיחידה מהסוג הראשון, b – מהסוג השני
סעיף ד – הרווח המקסימלי
נציב את קודקודי התחום האפשרי בפונקציית המטרה:
📐 משפט: ערך מקסימלי בתכנון ליניארי
f(x , y) = 26 · x + 30 · y
נציב x = 0 , y = 0:
f = 26 · 0 + 30 · 0 = 0
נציב x = 0 , y = 8.75:
f = 26 · 0 + 30 · 8.75 = 262.5
📐 משפט: ערך מקסימלי בתכנון ליניארי
הערך המקסימלי של פונקציית המטרה מתקבל באחד מקודקודי התחום האפשרי – מציבים כל קודקוד
סעיף ד – הרווח המקסימלי · המשך
f = 26 · 0 + 30 · 8.75 = 262.5
נציב x = 7 , y = 0:
f = 26 · 7 + 30 · 0 = 182
נציב x = 3.5 , y = 7:
f = 26 · 3.5 + 30 · 7
f = 91 + 210 = 301
סעיף ד – הרווח המקסימלי · המשך
f = 91 + 210 = 301
הרווח הגדול ביותר, 301 שקלים, מתקבל בנקודה (3.5 , 7).
✅ פתרון סופי: 3.5 ק"ג סלט גזר ו־7 ק"ג סלט כרוב (רווח של 301 שקלים)
📌 סיכום התשובות
סוג הסלט
סלט גזר
זמן הקיצוץ (ל־1 קילוגרם)
6 דקות
זמן הערבוב (ל־1 קילוגרם)
2 דקות
א
סלט כרוב
ב
3 דקות
ג
4 דקות
ד
x ≥ 0 , y ≥ 0
6x + 3y ≤ 42
2x + 4y ≤ 35
6x + 3y ≤ 42
2x + 4y ≤ 35
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא